Le programme scientifique sera constitué d'un mini-cours de Yann Chaubet et de trois exposés de Annabelle Collin, Olivier Ley et Julien Sabin.

Programme prévisionnel

Accueil

• 10h15-11h15 Yann Chaubet (1/2)
• 11h20-12h00 Julien Sabin

Déjeuner

• 13h30-14h30 Yann Chaubet (2/2)

Pause

• 15h00-15h40 Annabelle Collin
• 15h45-16h25 Olivier Ley

Titres et résumés

• Yann Chaubet, Résonances de Ruelle et croissance des orbites périodiques

Ce mini-cours portera sur les résonances de Ruelle, un spectre associé à certains flots chaotiques, et sur leur lien avec les orbites périodiques du flot. Nous commencerons par illustrer la problématique sur un modèle élémentaire, celui d’un graphe discret, où le spectre de la matrice d’adjacence permet de comprendre la distribution des chemins cycliques du graphe. Nous expliquerons ensuite comment transposer ces idées au cadre des flots hyperboliques, en construisant un spectre de résonances qui encode finement le comportement asymptotique de la dynamique. Enfin, nous verrons comment exploiter ce spectre pour obtenir des asymptotiques précises sur la croissance du nombre d’orbites périodiques.

• Julien Sabin, Concentration spatiale de quasimodes du laplacien à haute fréquence

Résumé : Dans cet exposé, je vais présenter des résultats permettant de mesurer à quel point des quasimodes du laplacien peuvent être concentrés en espace dans un régime asymptotique de haute fréquence. On s'intéressera en particulier au "taux maximal" de concentration ainsi qu'aux exemples ayant ce taux maximal (fonctions zonales, faisceaux gaussiens). Enfin, je parlerai de résultats similaires en considérant non pas un seul quasimode mais des familles orthonormées de quasimodes: ce point de vue permet de mettre en évidence un régime de concentration (un seul quasimode), un régime de délocalisation (famille orthonormée de quasimodes de cardinal maximal), et la transition entre ces régimes.

• Annabelle Colin, Homogenized Bidomain Model for Pulsed Field Ablation

Résumé : Cardiac arrhythmia arises from disordered electrical wave propagation. A common treatment is catheter ablation, where tissue is destroyed to isolate pathological activity. In collaboration with IHU Liryc, we focus on pulsed field ablation (PFA), a non-thermal method based on irreversible electroporation and investigate how mathematical models and numerical analysis can support this therapy. Starting from a microscopic bidomain description, we derive via asymptotic analysis a homogenized model that includes a nonlinear transport term and accounts for the multiple temporal and spatial scales of electrophysiology and electroporation. We then conduct a numerical study of the convergence with respect to the microscopic parameter and illustrate the qualitative behavior of the homogenized system under biologically relevant stimulation protocols. Finally, we establish the convergence of the asymptotic expansion to arbitrary order, thus providing a rigorous mathematical justification of the model. Numerical simulations with realistic catheter geometries, compared with experimental sheep data, further demonstrate its predictive capacity for electroporated regions. This work is carried out in the framework of the PhD thesis of Simon Bihoreau.

• Olivier Ley, Equations de Hamilton-Jacobi sur des réseaux

Résumé : Le but est d'introduire les EDP non-linéaires sur des réseaux avec des conditions de Kirchhoff aux noeuds. Je rappellerai le cas uniformément elliptique qui est bien connu depuis longtemps et le cas des équations de Hamilton-Jacobi (totalement dégénérées) qui a connu des développements importants ces dernières années avec l'utilisation de notions de solutions de viscosité adaptées. Enfin, si le temps le permet, je présenterai des résultats récents obtenus avec Guy Barles (Tours) et Erwin Topp (Rio) pour le cas général des équations du second-ordre dégénérées, qui englobe en particulier les cas précédents.